泰勒公式是怎样推导的 - 泰勒公式的推导过程

泰勒公式的推导过程为：若函数f（x）在包含x0的某个开区间（a，b）上具有（n＋1）阶的导数，那么对于任一x∈（a，b），有f（x）＝f（x0）／0！＋f＇（x0）／1！＋f＇（x0）／2！＋．．．＋f（n）＇（x0）／n！＋Rn（x）。

其中，Rn（x）＝f（n＋1）δ（x－x0）＾（n＋1）／（n＋1）！，此处的δ为x0与x之间的某个值。f（x）称为n阶泰勒公式，其中，P（x）＝f（x0）＋f＇（x0）（x－x0）＋．．．＋f（n）（x0）（x－x0）＾n／n！称为n次泰勒多项式。

x0由导数的定义可知，当函数f（x）在点x0处可导时，在点x0的邻域U（x0）内恒有f（x）＝f（x0）＋f＇（x0）（x-x0）＋o（x－x0）。因为o（x－x0）是一个无穷小量，故有f（x）≈f（x0）＋f＇（x0）（x-x0）。

从几何上看，它是用切线近似代替曲线。然而，这样的近似是比较粗糙的，而且只在点的附近才有近似意义。为了改善上述不足，使得近似替代更加精密，数学家们在柯西中值定理的基础上，推导出了泰勒中值定理（泰勒公式）。